A. IDはスカイプ名とも呼ばれ、スカイプに登録するときに設定するものです。ログインするときに使ったりする登録上の管理ID(スカイプ上で1つしか存在できない)で、これは最初の登録時に設定したらもう変更はできません。
表示名というのはその名の通り、他のユーザーから見たときに表示される名前です。これはいつでも変更することが可能です。

A. プライバシー設定で制限できます。
スカイプ画面左上のメニューで、「Skype」→「プライバシ―」を選択すれば設定画面に行けるので、そこで通話・チャットなどの許可範囲を自分の連絡先のみに設定できます。
A. いいえ、スカイプ自体が起動している状態をオンラインといいます。ですので、スカイプを終了すればオフラインになります。
パソコンを起動するとスカイプも起動する設定になっている場合は、設定を変更すればスカイプを自分で開かない限り起動しないようにも設定できます。
設定方法は「便利な設定いろいろ」をご覧ください。
A. 無視をしても相手側には何も通知されません。その相手が承認通知が来ない事が気になって、「最近」タブを見てみた場合でも「未承認」と表示されているだけです。
A. 特定のメッセージを消したい場合は、消したいメッセージの上で右クリックして「メッセージを削除」を選択してください。
友達登録している人との全てのチャットを消したいのであれば、スカイプ画面左上のメニューで、
「ツール」→「設定」→「プライバシー」 →「 詳細を表示」 → 「履歴の削除」をすれば全履歴を削除できます。
A. いいえ、チャットの内容はそのチャットに参加している人しか見ることができません。